＜群論（Group Theory）＞のやまとことば － 組み

＜群論（Group Theory）＞のやまとことばについては＜集合＞のやまとことば、その他＜ｘｘ論（抽象数学）＞のやまとことばで、中身を詳しく問わずに何度かふれている。

集合のやまとことば（2013年4月）

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数学では＜集合＞以外に＜群＞があり＜群論＞として高等代数（抽象数学）で使われている。＜群＞のもとの英語は group だ。set、group ともラテン語系ではなく純英語なので（注）、＜群＞のやまとことばをさがしてみる。群論は＜ぐんろん＞と読まれるが、 群のやまとことばは＜むれ＞だ。＜むれる＞、＜むれをなす＞は大体似たモノが集まることだ。したがって、 group　－－＞　群（ぐん）でいいのだが、これを＜むれ（論）＞とすると数学者から文句が出そうだ。数字ではなく動物が集まる感じがする。また俗語の＜グルになる＞は＜グループになる＞がもとの意味だ。
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最近＜群論の中身を少し詳しく勉強しているが、かなりな広範囲にわたっており、しかも中身があり、＜むれ（論）＞ではすまないようだ。＜体論（数学）のやまとことば＞で引用したが

＜体＞の方が＜群＞より抽象度（汎用度）が進んでいるようだが、＜群論、Group Theory＞の解説（Wiki）の冒頭には

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 In mathematics and abstract algebra, group theory studies the algebraic structures known as groups. The concept of a group is central to abstract algebra: other well-known algebraic structures, such as rings, fields, and vector spaces, can all be seen as groups endowed with additional operations and axiom.

群論（ぐんろん、英語: group theory）とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。

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と言う解説がある。また Wiki の＜群論、Group Theory＞解説のほうが＜体論＞の解説よりはるかに長く内容も多い。つまりは＜群論＞が主、＜体論＞は従の扱いだ。

抽象度に関しては＜体＞が四則演算に従うのを原則としているので、制約の少なさを抽象度の目安とすると、＜群＞は下記の定義からすると＜体＞よりも進んでいることになる。＜体＞は＜演算や公理が付与された群と看做すことができる＞。

＜群＞の定義　Wiki-Japan

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集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう：

1. （結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g, h), k) を満たす：

   ${\displaystyle (\forall g,h,k\in G)[\mu (g,\mu (h,k))=\mu (\mu (g,h),k)].}$

2. （単位元の存在）μ(g, e) = μ(e, g) = g を G のどんな元 g に対しても満たすような G の元 e が存在する：

   ${\displaystyle (\exists e\in G)(\forall g\in G)[\mu (g,e)=\mu (e,g)=g].}$

   • このような e は存在すれば一意であり、G の単位元という。
3. （逆元の存在）G のどんな元 g に対しても、μ(g, x) = μ(x, g) = e となるような G の元 x が存在する：

   ${\displaystyle (\forall g\in G)(\exists x\in G)[\mu (g,x)=\mu (x,g)=e].}$

   • このような x は存在すれば一意であり、この x を g の G における逆元といい、しばしば g⁻¹, あるいは演算を加法的に書く場合には −g で表される。

群よりも広い概念として、1 を満たすものは半群、1 と 2 を満たすものはモノイドという。

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これが群の定義なのだが、当たり前のことなので気が付きにくいが

集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が上記の3条件を満たす

ときに群論での特別な意味をみを持った＜群＞になる、と言うことなのだ。この当たり前のことが＜気が付きにくい＞のは＜群＞という日本語はあまり使わないからだ。一方英語の Group は日常語でいろいろ一般的な意味があり（組み、仲間、集まり）、定義をしないと数学上の特別な意味にはならないのだ。

最後の行の解説は＜群よりも広い概念として＞とあるので詳しくはここで調べないが＜半群＞や＜モノイド＞の方が抽象度が高いということになる。だが＜抽象度が高い＞と制約が少なくなるためか何だかわからなくなる、という弊害がでてくることがある。

さて定義に戻ると、まず初めの

＜集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは＞とは何を言っているのか？ポイントは＜組 (G, μ)＞、いいかえればまず＜ (G, μ) という組＞をつくり、＜μ＞二項演算で、集合 G、具体的には集合 G の元、に対する操作（演算）する。そしてその結果は演算後も集合Gにある、すなわち同じグループにとどまるということ、なのだ。ここでは＜二項演算＞とは何かを知っていないといけない。

二項演算 Wiki-Japan

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数学において、二項演算（にこうえんざん、英: binary operation）は、数の四則演算（加減乗除）などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念である。二項算法、 結合などともいう。

定義

集合 A 上で定義される 2 変数の写像

${\displaystyle \mu \colon A\times A\to A;\ (x,y)\mapsto \mu (x,y)}$

を A 上の二項演算あるいは乗法などと呼び、集合 A を二項演算 μ の台集合 (underlying set) などと呼ぶ。A の 2 元 x, y に対し、順序対 (x, y) の二項演算 μ による像 μ(x, y) を x と y の積あるいは結合などと呼んで、多くの場合に中置記法に則って x μ y のように記す（混乱のおそれの無い場合には、しばしば xy と略記する）。

また、A × A 上の写像 g が A 上の二項演算を与えるとき、A は g について閉じているあるいは g は A において閉じているという。

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二項演算は四則演算（加減乗除）ではなく

四則演算（加減乗除）などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念＞の＜一般化した概念＞が重要で、数学の抽象化が進み、いろいろ応用が利（き）くことになる。加減乗除や数字にこだわることもないのだ。

さてポイントの集合（G）と演算（μ）の＜組 (G, μ)＞の＜組（くみ）＞というやまとことばについて考えてみる。

＜組み＞自体＜グループ＞とも訳せるが＜グループを組む＞という言い方がある。＜組みを組む＞とは言わない。＜組み＞は動詞＜組む＞の連用形の体言（名詞）用法。体言（名詞）用法の意味としては

１）組むということ
２）組んだ、組まれた状態
３）組まれたモノ、コト

が考えられる。

＜組み＞はなじみのある日常語で、小学校に入ると

１年１組、 １年２組、 １年３組 . . . .

に組み入れられる。＜年＞は漢語だが＜組（くみ）＞はやまとことばだ。運動会では紅組、白組に組み入れられる。これらの組は３）組まれたモノ、コトに相当する。英語の＜クラス＞は学校では＜組み＞の意で使われる。＜組み分け＞より＜クラス分け＞の方よく使われるようだ。

１）組むということ、については、集合を考えると生徒が元になり、＜組むということ＞が操作に相当するが二項演算ではない。小学校では男女に分けることはないので、分け方は学校の方針とか＜きまり＞によるのだろう。だがこの操作の意味での＜組み＞という語は使われない。＜学校の方針とか＜きまり＞による＞＜組み＞とは言わないののだ。＜組み＞にこの抽象性はないのだ。ではどういうかというと、＜学校の方針とか＜きまり＞によって＞＜組むこと＞となるか。例外はあるだろうが、日本語では動詞の抽象化は＜動詞連体形＞＋＜こと＞になるようだ。

２）組んだ、組まれた状態、の意味の＜組み＞はどうか？＜組みが悪い、良い＞とはほとんど言わない。複合動詞語の＜組み合わせ、組み立て＞は＜組み合わせ、組み立てが悪い、良い＞と言う。２）の意味では＜組み具合悪い、良い＞はよさそうで＜具合＞が必要のようだ。＜具合＞は状態のやまとことばに相当。

動詞によってはこの＜具合（状態）＞の語がいらないのがある。

＜走り＞のいい車（くるま）
＜動き＞のいい（にぶい）選手（プレイヤー）
＜払い＞のいい（悪い）会社
＜つくり＞の悪い木造家屋
これらの動詞も＜走り＞、＜動き＞、＜払い＞、＜つくり＞は＜走ること＞、＜動くこと＞、＜払うこと＞、＜＜つくること＞にはならないようだ。

＜走り＞が嫌い。　－＞　＜走る＞のが嫌い。
＜動き＞は体にいい。　－＞　＜動く＞のは体にいい。
 ＜払い＞は義務だ。　－＞＜払う＞のは義務だ。
＜つくり＞はむずかしい。  －＞＜つくる＞のはむずかしい。

これはおもしろい日本語の特徴だ。話がそれたが、

以上から体言（名詞）用法の＜組み＞の意味としては大方３）組まれたモノ、コトの意になるようだ。

群論にもどると、 ３）組まれたモノ、コトの意の＜組み＞（の分析）も重要だが、＜組にする＞操作も重要だ。＜組する＞は簡潔でよさそうだが別の意味になってしまう。＜組にする＞方法（しかた）は、限られるが複合動詞で表せる。

組み合わせる　－　＜組み合わせ＞は数学用語で Combination の訳語だ。
組み入れる　－　組み入れ　　＜組み入れる＞は＜組んで入れる＞ではなく＜組に入れる＞の意の造語法だ。
組みかえる　－　＜遺伝子組み換え＞と言うのがあるが＜組み換え＞という数学用語はあるか？やまとことばの＜かえる＞は＜変える、換える、替える、代える、返る、帰る＞といろいろな意味がある。
組み込む　－　技術用語の Embedded は＜組み込み＞と訳されている。＜組み込む＞は＜組んで込める＞というよりは＜組に入れ込める＞の意だ。
組み立てる　－　＜組み立て＞は＜工場での製品の組み立て＞などのように使われるが、抽象的な意味では＜構造＞のやまとことばに近い。この意味でもう少し頻繁に使われてもいいのではないか。一方＜つくり＞も＜構造＞の意のやまとことば候補だ。
組み直（なお）す　－　組み直し
組み分ける　－　組み分け。　＜組んで、分ける＞は文字通りでは矛盾表現だ。上述のように＜組み分け＞は＜クラス分け＞の意だろう。

入り組む　－　ふつうは＜入り組んでいる＞のように使う。この意味で＜入り組み＞とは言わない。
取り組む　－　取り組み　＜取り組む＞は

今＜群論（Group Theory）＞のやまとことば（の問題）に取り組んでいる。

のように使い、文字通りでは＜取って、組む＞でよくわからない。 ＜取り組み＞がは相撲の＜取り組み＞のように使い、＜問題に取り組む＞の＜取り組み＞とズレがある。少しなまって＜取っ組み合いのけんか＞という。この意味の＜組む＞では

組み敷（し）く
組み伏（ふ）せる


＜組み＞の使われ方

ｘｘ を組みにする　　　 上記の<群＞定義は＜集合（G）と演算（μ）を＜組 (G, μ)＞の組みにする＞と言える。

ｘｘ で組みをつくる　　  ＜集合（G）と演算（μ）で＜組 (G, μ)＞の組みをつくる＞と言える。

ｘｘ で組になる     ＜集合（G）と演算（μ）で＜組 (G, μ)＞の組みになる＞と言える。


＜組む＞にデジタル性

このポストを書いているうちに気がついたのだが、＜組む＞には集合の個々の元に操作を加える、個々のブロックやモジュール（これらは小さい組ともいえる）を組み立てる、組み上げる、組み合わせるような感じがる。リニアーなモノは組み立てたる、組み上げる、組み合わせるという言い方には違和感がある。ブロックやモジュールは小さい組ともいえ、小さい組で大きな組をつくるのに使われが、製造効率があがるのでこのような＜小さい組で大きな組をつくる＞ようだ。いづれにしてもデジタル的だ。上でとりあげたが＜つくる＞、＜つくり＞（構造）はデジタル性がないと言っていい。

Group Theory の訳語としては、＜組み＞に＜組み具合＞の意が薄いので、＜組み論＞でいいのではないか？＜組み合わせ論＞ではない。＜組み論＞は必ずしも＜Group Theory＞の＜Group>
定義を表わしていないが、英語のの方も Group という語が一般的な語で語自体に＜Group Theory＞の＜Group>の意味はなく、＜Group Theory＞を勉強して始めて抽象数学での特別な意味を持つようになるのだ。＜組み＞の抽象数学での特別な意味を持たせようとすると

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集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が（抽象数学上の）群

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の意味を加えて＜もとがえり組み＞がよさそうだ。この場合の＜がえり＞は＜返り＞、＜帰り＞だ。

かなりくだけるが

ｙｙ （たち）はｘｘ をしても結局のところ＜同じ穴のムジナ＞だ、という言い方がある。

＜同じ穴のムジナ組＞も候補だ。これは＜同じ穴のムジナ族、属＞でもいいが＜族、属＞は漢語だ。

第二候補

集合を＜集まり＞とすると語呂からすると＜まとまり＞というやまとことばがある。

ｓｐｔｔ